Cada problema pide obtener un resultado en forma cerrada, firmar una derivada o caracterizar un caso límite. La secuencia es acumulativa: la restricción intertemporal genera la Euler, la Euler genera la función de consumo CRRA, la función de consumo permite firmar la respuesta del ahorro a la tasa, y de ahí se abren las tres extensiones del capítulo — ingreso permanente y política fiscal, inversión de la empresa, y sostenibilidad de la deuda. Intenta la derivación antes de abrir el desarrollo.
Ninguno se supone: todos aparecen demostrados en los desarrollos.
Un hogar vive dos períodos con dotación exógena (y₁, y₂) y accede a un mercado de capitales perfecto a la tasa real r. Sus preferencias son U = u(c₁) + βu(c₂) con u'>0, u''<0.
El ahorro es s₁ = y₁ − c₁ y el segundo período agota recursos, c₂ = y₂ + (1+r)s₁. Despejando s₁ y dividiendo por (1+r):
c₁ + c₂/(1+r) = y₁ + y₂/(1+r) ≡ W(r)Solo importa el valor presente del perfil de ingreso, no su calendario. Derivando:
∂W/∂r = − y₂/(1+r)² < 0siempre que y₂ > 0: subir la tasa descuenta más fuerte el ingreso futuro y reduce la riqueza medida en unidades de consumo presente.
Evaluando la RPI en c₁ = y₁, c₂ = y₂ se obtiene una identidad: la dotación satisface la restricción para todo r, porque corresponde a s₁ = 0 y el ahorro nulo no paga ni recibe intereses.
Escribe el lagrangiano con la RPI como restricción:
ℒ = u(c₁) + βu(c₂) + λ[ y₁ + y₂/(1+r) − c₁ − c₂/(1+r) ]Por el teorema de la envolvente, dV/dr = ∂ℒ/∂r evaluado en el óptimo, con los c tratados como constantes:
dV/dr = λ·[ −y₂/(1+r)² + c₂/(1+r)² ] = λ·(c₂ − y₂)/(1+r)²Pero c₂ − y₂ = (1+r)s₁ por la restricción de flujo, de modo que
dV/dr = λ · s₁/(1+r), con λ = u'(c₁) > 0Ambos resultados son ciertos y miden cosas distintas. W valora la dotación a los precios nuevos: es un número expresado en unidades de c₁, y esas unidades se encarecieron. La utilidad, en cambio, no depende del numerario. Formalmente, el efecto sobre el bienestar combina la caída de W con el abaratamiento de c₂, y el neto es proporcional a la posición neta s₁ — que es justamente lo que dice la identidad de Slutsky con dotación del problema 4.
Mantén el problema del hogar anterior, con u general, y escribe el factor de descuento como β = 1/(1+ρ), donde ρ es la tasa de preferencia temporal.
Sustituyendo la restricción de flujo, el problema queda en una variable:
máxc₁ u(c₁) + βu( y₂ + (1+r)(y₁ − c₁) ) u'(c₁) = β(1+r)·u'(c₂)Lectura de no arbitraje: sacrificar un peso hoy cuesta u'(c₁) de utilidad y rinde (1+r) pesos mañana, que valen βu'(c₂) cada uno. En el óptimo, la desviación marginal no puede mejorar nada — es exactamente la lógica que reaparece como condición de valoración de activos en el CCAPM del capítulo 8.
Reescribe como u'(c₁)/u'(c₂) = β(1+r). Como u''<0, u' es estrictamente decreciente, luego
u'(c₁) ≷ u'(c₂) ⟺ c₁ ≶ c₂Tomando logaritmos en la Euler: ln u'(c₁) − ln u'(c₂) = ln(1+r) − ln(1+ρ). Por definición de σ, la elasticidad de la utilidad marginal es
d ln u'(c)/d ln c = u''(c)c/u'(c) = −σ(c) ⟹ ln u'(c₁) − ln u'(c₂) ≈ σ·(ln c₂ − ln c₁)y usando ln(1+x) ≈ x para r, ρ pequeños:
gc ≈ (1/σ)·(r − ρ)Los tres ingredientes están separados: el consumo crece si el mercado premia la paciencia (r > ρ), y la magnitud de esa respuesta la gobierna la EIS = 1/σ, no σ.
Con utilidad cuadrática u(c) = c − (a/2)c², la utilidad marginal es lineal: u'(c) = 1 − ac. Bajo incertidumbre la Euler es u'(ct) = β(1+r)Et[u'(ct+1)], y con β(1+r) = 1:
1 − act = Et[1 − a ct+1] ⟹ ct = Et[ct+1]Nota que la linealidad de u' es esencial: si u'''>0 (prudencia), la desigualdad de Jensen introduce un término de ahorro precautorio y el martingala se rompe.
Especializa las preferencias a la familia CRRA, la única compatible con crecimiento balanceado y la que usa el apunte.
Con u'(c) = c−σ, la Euler c₁−σ = β(1+r)c₂−σ da la razón de consumos
c₂/c₁ = [β(1+r)]1/σSustituyendo en la RPI c₁ + c₂/(1+r) = W:
c₁·{ 1 + [β(1+r)]1/σ/(1+r) } = W c₁ = W / D(r), con D(r) ≡ 1 + β1/σ(1+r)(1−σ)/σEl exponente (1−σ)/σ es el que decide todo lo que sigue: es positivo si σ < 1, nulo si σ = 1, negativo si σ > 1.
La función de consumo es lineal en la riqueza y sin intercepto, con una pendiente que depende de (β, σ, r) pero no de W.
Si σ = 1, el exponente (1−σ)/σ = 0 y por tanto (1+r)0 = 1:
D = 1 + β ⟹ c₁ = W/(1+β), independiente de r dado W(Formalmente, c1−σ/(1−σ) converge a ln c salvo una constante aditiva cuando σ → 1, que no altera el óptimo.)
σ → ∞ (EIS → 0): [β(1+r)]1/σ → 1, luego c₂/c₁ → 1 y
D → 1 + 1/(1+r) ⟹ c₁ = c₂ = W(1+r)/(2+r)Suavizamiento perfecto: el hogar rehúsa cualquier inclinación del perfil, por atractiva que sea la tasa. Es el caso de Leontief intertemporal.
σ → 0 (utilidad casi lineal, EIS → ∞): el término [β(1+r)]1/σ diverge o se anula según el signo de β(1+r) − 1:
| Caso | Límite de D | Comportamiento |
|---|---|---|
| β(1+r) > 1 | → ∞ | c₁ → 0: ahorra todo, consume solo en t=2 |
| β(1+r) < 1 | → 1 | c₁ → W: consume todo hoy, se endeuda al máximo |
Trata el problema como una demanda de dos bienes con precios p₁ = 1 y p₂ = 1/(1+r) y una dotación (y₁, y₂) en lugar de un ingreso monetario fijo.
Cuando el ingreso proviene de vender una dotación, m es endógeno a los precios: ∂m/∂p₂ = y₂. Derivando c₁(p, m(p)) y combinando con la Slutsky habitual:
∂c₁/∂p₂ = ∂h₁/∂p₂ + (y₂ − c₂)·∂c₁/∂mLa diferencia con el caso de ingreso exógeno es el factor (y₂ − c₂) en vez de (−c₂): el agente es simultáneamente comprador y vendedor del bien 2, y solo su posición neta genera efecto ingreso. Un agente en autarquía (c₂ = y₂) no tiene efecto ingreso en absoluto.
Como p₂ = 1/(1+r), se tiene dp₂/dr = −1/(1+r)². Además, de la restricción de flujo, y₂ − c₂ = −(1+r)s₁. Sustituyendo:
dc₁/dr = −(1/(1+r)²)·[ ∂h₁/∂p₂ − (1+r)s₁·∂c₁/∂m ]y como s₁ = y₁ − c₁ implica ds₁/dr = −dc₁/dr:
∂s₁/∂r = ∂h₁/∂p₂ /(1+r)² − s₁·(∂c₁/∂m)/(1+r)| Término | Signo | Mecanismo |
|---|---|---|
| Sustitución ∂h₁/∂p₂/(1+r)² | ≥ 0 siempre | Con dos bienes, la matriz de Slutsky es semidefinida negativa y simétrica, de modo que el efecto cruzado hicksiano ∂h₁/∂p₂ ≥ 0: al abaratarse c₂ (subir r), se sustituye c₁ por c₂ y el ahorro sube. |
| Ingreso −s₁(∂c₁/∂m)/(1+r) | signo de −s₁ | Con c₁ normal (∂c₁/∂m > 0), un acreedor (s₁>0) se enriquece y consume más hoy: ahorra menos. Un deudor se empobrece y debe ahorrar más. |
Corolario agregado: en una economía cerrada el ahorro neto agregado es cero por construcción, así que el efecto ingreso se cancela entre deudores y acreedores y solo sobrevive el término de sustitución. La ambigüedad es un fenómeno individual, no agregado — salvo que las EIS difieran sistemáticamente entre deudores y acreedores, que es justamente lo que ocurre por edad y riqueza.
Con c₁ = W/D y D = 1 + β1/σ(1+r)(1−σ)/σ, define ω ≡ (D−1)/D = 1 − c₁/W ∈ (0,1), la fracción de la riqueza destinada al segundo período. Derivando logarítmicamente:
d ln c₁/dr = ∂ln W/∂r − (1/D)(dD/dr) = − y₂/[(1+r)²W] − [(1−σ)/σ]·ω/(1+r) ∂s₁/∂r = c₁·{ y₂/[(1+r)²W] + [(1−σ)/σ]·ω/(1+r) }El primer término (efecto riqueza por descuento) es siempre positivo. El segundo cambia de signo en σ = 1. Multiplicando por (1+r)/c₁ y reordenando, el ahorro cae si y solo si
[(σ−1)/σ]·ω > y₂/[(1+r)W]Extiende a horizonte infinito con previsión perfecta, tasa constante y la condición de paciencia β(1+r) = 1, de modo que el consumo óptimo es constante.
Si c es constante, el lado izquierdo es una serie geométrica: c·Σj≥0(1+r)−j = c(1+r)/r. Igualando a Wt:
ct = [r/(1+r)]·WtEl hogar convierte su riqueza en una anualidad perpetua: consume el flujo permanente que su riqueza puede sostener para siempre. La condición de no-Ponzi es la que hace válida la RPI en horizonte infinito: sin ella, el hogar podría refinanciar su deuda indefinidamente y consumir sin límite, y el problema no tendría solución.
Todo pasa por ΔW, porque la PMC de la riqueza es fija:
| Shock | ΔW | Δc |
|---|---|---|
| Transitorio: Δy solo en t | Δy | [r/(1+r)]·Δy |
| Permanente: Δy en todo j ≥ 0 | Δy·(1+r)/r | Δy |
La PMC del ingreso corriente va de r/(1+r) —casi cero para r pequeño— hasta 1. No es un parámetro estructural: depende de la naturaleza del shock.
Con Et yt+j = ρjyt, la riqueza humana es otra geométrica de razón ρ/(1+r) < 1:
Wt = Σj≥0 ρjyt/(1+r)j = yt·(1+r)/(1+r−ρ) ct = [r/(1+r)]·yt(1+r)/(1+r−ρ) = [r/(1+r−ρ)]·yt ⟹ PMC(ρ) = r/(1+r−ρ)Verificación de los anidamientos: ρ = 0 da r/(1+r) (transitorio ✓) y ρ = 1 da r/r = 1 (permanente ✓).
La PMC es creciente y convexa en ρ: casi plana para persistencias bajas y disparándose cerca de ρ = 1. Ejemplo del mecanismo: para r pequeño, la PMC se aproxima a r/(1+r−ρ), que sigue siendo pequeña salvo que ρ esté muy cerca de 1.
Un gobierno gasta (G₁, G₂), cobra impuestos de suma alzada (T₁, T₂) y puede emitir deuda. El hogar es el de los problemas 1–3, ahora con ingreso disponible.
Sustituye la restricción del gobierno en la del hogar. Agrupando los impuestos:
T₁ + T₂/(1+r) = G₁ + G₂/(1+r) W = y₁ + y₂/(1+r) − [ G₁ + G₂/(1+r) ]Considera dT₁ = −Δ financiado con deuda; la restricción del gobierno exige dT₂ = (1+r)Δ. Entonces:
d(ahorro privado) = d(y₁ − T₁ − c₁) = Δ − 0 = +Δ d(ahorro público) = d(T₁ − G₁) = −Δ d(ahorro nacional) = 0El hogar ahorra íntegramente la rebaja porque anticipa el impuesto futuro y necesita exactamente (1+r)Δ en t = 2 para pagarlo. La demanda privada de bonos absorbe la oferta pública sin mover la tasa.
Si el hogar espera pagar solo θT₂ (muere antes, o la carga recae sobre generaciones futuras a las que no es altruista), su riqueza pasa a ser W = (y₁ − T₁) + (y₂ − θT₂)/(1+r). Diferenciando la reforma anterior:
dW = Δ − θ(1+r)Δ/(1+r) = (1 − θ)·Δ dc₁ = (∂c₁/∂W)·dW = (1 − θ)·Δ/D(r)Con log, D = 1+β. La equivalencia es el caso θ = 1; el extremo θ = 0 (el hogar no pagará nada) reproduce el keynesianismo ingenuo con PMC = 1/D.
Si el hogar está en la esquina c₁ = y₁ − T₁ (problema 7), su consumo ya no lo determina W sino su liquidez corriente:
dc₁ = Δ ⟹ PMC = 1La rebaja tributaria es justamente el préstamo que el mercado le negaba: el gobierno se endeuda por cuenta del hogar, a una tasa a la que el hogar no tenía acceso. Aquí la política fiscal es máximamente potente, y lo es precisamente porque el mercado de capitales es imperfecto.
Impón que el hogar no puede endeudarse: s₁ ≥ 0. Todo lo demás igual al problema 3 (CRRA).
Las condiciones son ∂ℒ/∂c₁ = 0, μ ≥ 0, y₁ − c₁ ≥ 0 y la holgura complementaria μ(y₁ − c₁) = 0:
u'(c₁) − β(1+r)u'(c₂) = μ ≥ 0La Euler pasa de igualdad a desigualdad débil: el hogar quisiera trasladar consumo del futuro al presente, pero no puede. Si s₁ > 0 entonces μ = 0 y se recupera la Euler estándar del problema 2.
La restricción se activa si y solo si el óptimo irrestricto viola la cota, c₁* > y₁. Con c₁* = W/D:
W/D > y₁ ⟺ y₁ + y₂/(1+r) > D·y₁ ⟺ y₂/(1+r) > (D−1)·y₁y como D − 1 = β1/σ(1+r)(1−σ)/σ, al multiplicar por (1+r) el resultado colapsa:
y₂/y₁ > [β(1+r)]1/σ = c₂*/c₁*Corolarios inmediatos por estática comparativa: la condición es más fácil de cumplir cuanto (i) más empinado el perfil de ingreso — jóvenes, estudiantes, migrantes recientes; (ii) más impaciente el hogar (β bajo); (iii) menor la tasa de interés; (iv) mayor σ, porque el hogar desea un perfil más plano y por tanto necesita endeudarse más.
En la esquina, c₁ = y₁ y c₂ = y₂, de modo que
μ = u'(y₁) − β(1+r)u'(y₂) = y₁−σ − β(1+r)y₂−σ > 0μ es la ganancia de utilidad de relajar la restricción en un peso: el hogar pagaría hasta μ/u'(y₁) pesos por acceder a esa unidad de crédito. Nota que μ > 0 es equivalente a la condición de (b), reordenando.
Ante una transferencia transitoria τ pequeña, el hogar restringido sigue en la esquina (la condición de activación es una desigualdad estricta y se mantiene por continuidad), luego c₁ = y₁ + τ:
PMCrestringido = 1 vs. PMClibre = 1/D(r)Con una fracción λ de hogares restringidos, la PMC agregada es el promedio ponderado
PMCagregada = λ·1 + (1−λ)·(1/D)Pasa de la decisión del hogar a la de la empresa. Una firma competitiva produce con F(K), cóncava, y el capital se deprecia a tasa δ. El precio del capital es pK y puede variar en el tiempo.
Comprar una unidad de capital cuesta pK,t. Rinde un alquiler Rt y al final del período queda una fracción (1−δ) que se puede vender a pK,t+1. La alternativa es un bono que rinde (1+r). En equilibrio ambos deben rendir lo mismo:
Rt + (1−δ)pK,t+1 = (1+r)·pK,tDespejando y definiendo la ganancia de capital πK ≡ (pK,t+1 − pK,t)/pK,t:
uc ≡ Rt = pK,t·( r + δ − πK ) (a primer orden)Los tres componentes son transparentes: r es el costo de oportunidad del financiamiento, δ el desgaste físico, y −πK el hecho de que si el capital se aprecia, poseerlo es más barato. La condición de óptimo es F'(K) = uc.
Con un impuesto τ sobre las utilidades y un crédito por depreciación de valor presente z por peso invertido, el costo efectivo de una unidad de capital es pK(1 − τz) y el rendimiento se grava a (1−τ). Igualando después de impuestos, con pK = 1 y πK = 0:
uc(τ, z) = (r + δ)·(1 − τz)/(1 − τ)Derivando respecto de τ (regla del cociente):
∂uc/∂τ = (r+δ)·[ −z(1−τ) + (1−τz) ]/(1−τ)² = (r+δ)·(1 − z)/(1 − τ)² ≥ 0Tomando logaritmos, ln K* = [ln(αA) − ln uc]/(1−α), luego
d ln K*/d ln uc = −1/(1−α) < −1La demanda de capital es siempre elástica. La intuición: cuánto hay que mover K para restaurar la igualdad F'(K) = uc depende de la velocidad con que decrece F', y esa velocidad la mide (1−α). Con α → 1 (rendimientos casi constantes) la elasticidad diverge; con α pequeño el capital es poco sensible a la tasa.
La condición F'(K) = uc determina el stock óptimo K*, pero nada en el problema penaliza la velocidad de ajuste. Formalmente, si K0 ≠ K*, la inversión que resuelve el problema es
I = K* − (1−δ)K0 en el primer instante, y luego I = δK*Reformula la decisión de inversión como un problema dinámico de control óptimo en tiempo continuo, con un costo de ajuste convexo que penaliza invertir rápido.
donde q es la variable de coestado asociada al stock de capital: el valor sombra de una unidad adicional de capital instalado. La condición ∂H/∂I = 0 da
−1 − φ(I/K) + q = 0 I/K = (q − 1)/φEl lado izquierdo es la tasa de inversión; el derecho compara el valor de una unidad instalada contra su costo de reposición (que es 1). La lectura marginalista es exacta: el costo marginal total de instalar es 1 + φ(I/K) (precio más costo de ajuste marginal) y debe igualar al beneficio marginal q.
La condición de coestado es q̇ = rq − ∂H/∂K. Como Φ = (φ/2)I²/K, se tiene ∂Φ/∂K = −(φ/2)(I/K)², luego
q̇ = (r + δ)q − F'(K) − (φ/2)(I/K)²Integrando hacia adelante con la condición de transversalidad limt→∞ e−(r+δ)tqt = 0:
qt = ∫t∞ e−(r+δ)(s−t)[ F'(Ks) + (φ/2)(Is/Ks)² ] dsEn estado estacionario K̇ = 0 ⟹ I = δK ⟹ I/K = δ, y de la regla de inversión:
q* = 1 + φδy con q̇ = 0 en la ecuación de coestado:
F'(K*) = (r + δ)(1 + φδ) − (φ/2)δ²Con δ = 0 esto colapsa a
q* = 1 y F'(K*) = res decir, se recupera exactamente la condición neoclásica del problema 8. Los costos de ajuste no cambian el destino, solo la trayectoria: con K < K* se tiene q > q* y la empresa invierte; la convergencia es gradual y su velocidad es decreciente en φ.
El problema es que q es la q marginal, ∂V/∂K, que no se observa. Lo que sí se observa en el mercado es la q media, V/K: valor de mercado de la empresa dividido por el costo de reposición de su capital.
Las condiciones no son inocuas: con poder de mercado, con factores fijos no medidos o con capital intangible no contabilizado, V/K incorpora rentas que no corresponden al valor marginal del capital, y sobreestima sistemáticamente la q marginal. Esa es la explicación estándar de por qué las regresiones de inversión contra q media dan coeficientes muy bajos (φ implausiblemente altos) y residuos correlacionados con el flujo de caja.
Cierra el capítulo con la contraparte agregada del ahorro público. Sea bt = Bt/Yt la deuda como razón del PIB y spt el superávit primario, también como razón del PIB.
Divide la restricción del gobierno por Yt+1 = (1+g)Yt:
Bt+1/Yt+1 = [(1+r)/(1+g)]·(Bt/Yt) − SPt+1/Yt+1 bt+1 = θ·bt − sp, θ ≡ (1+r)/(1+g)Restando bt y usando θ − 1 = (r−g)/(1+g):
Δbt+1 = [(r−g)/(1+g)]·bt − sp ≈ (r−g)·bt − spque en tiempo continuo es ḃ = (r − g)b − sp. El término (r−g)b es la bola de nieve: los intereses netos del crecimiento nominal del denominador.
El punto fijo resuelve b* = θb* − sp:
b* = sp/(θ − 1) = sp·(1+g)/(r − g)Definiendo la desviación xt ≡ bt − b*, la ecuación se vuelve homogénea, xt+1 = θxt, cuya solución es xt = θtx₀. Deshaciendo el cambio:
bt = θt·(b₀ − b*) + b*| Régimen | θ | Naturaleza de b* | Dinámica |
|---|---|---|---|
| r > g | > 1 | Umbral inestable (repulsor) | b₀ > b* ⟹ explota; b₀ < b* ⟹ la deuda cae sin límite. b* separa las dos cuencas. |
| r < g | < 1 | Atractor estable | bt → b* desde cualquier condición inicial. Con sp = 0, b* = 0: el crecimiento licúa la deuda sin ajuste fiscal. |
Imponiendo bt+1 = bt = b se obtiene el superávit que mantiene la deuda constante:
sp* = (θ − 1)·b = [(r − g)/(1+g)]·bReescribe la ecuación hacia atrás, bt−1 = (bt + spt)/θ, e itera T veces desde t = 0:
b₀ = Σj=1T spj/θj + bT/θTSi se impone la condición de no-Ponzi limT→∞ bT/θT = 0:
b₀ = Σj≥1 spj/θjLa deuda actual debe igualar el valor presente de todos los superávits primarios futuros, descontados a la tasa ajustada por crecimiento θ.
Advertencia final, y es la más importante: r no es exógeno. Si r = r(b) con r'(b) > 0 (prima por riesgo creciente en la deuda), entonces θ depende de b, la ecuación deja de ser lineal y pueden aparecer múltiples puntos fijos: uno de deuda baja y tasa baja, otro de deuda alta y tasa alta, ambos autoconsistentes.