Capítulo 7 · Consumo, ahorro e inversión · Problemas resueltos

Diez problemas con solución — del hogar que elige a la deuda que explota

La secuencia va de la restricción presupuestaria intertemporal a la sostenibilidad fiscal, pasando por Euler, el ingreso permanente, la equivalencia ricardiana, las restricciones de liquidez y la inversión. Cada problema se apoya en el anterior: los hogares A y B reaparecen con la misma riqueza y decisiones opuestas, y la empresa de los problemas 8 y 9 es la misma con y sin costos de ajuste. Intenta resolverlos antes de abrir la solución.

Formulario

Restricción presupuestaria intertemporalc₁ + c₂/(1+r) = y₁ + y₂/(1+r) ≡ W

Ecuación de Euler (CRRA)c₂/c₁ = [β(1+r)]^(1/σ)

Solución cerrada CRRAc₁ = W / [1 + β^(1/σ)(1+r)^((1−σ)/σ)]

Caso logarítmico (σ = 1)c₁ = W/(1+β)

Ingreso permanente (horizonte ∞)c = [r/(1+r)] · W

Restricción del gobiernoT₁ + T₂/(1+r) = G₁ + G₂/(1+r)

Capital óptimo (costo de uso)αA·K^(α−1) = r + δ ⟹ K* = [αA/(r+δ)]^(1/(1−α))

Inversión con costos de ajusteI/K = (q − 1)/φ, q = PMgK/(r+δ)

Dinámica de la deudab_{t+1} = [(1+r)/(1+g)]·b_t − sp

Superávit estabilizadorsp* = [(r − g)/(1+g)]·b_t

Problema 01Restricción intertemporal

La restricción presupuestaria intertemporal y el precio del tiempo

Un hogar vive dos períodos y recibe una dotación de ingreso exógena. Puede prestar o pedir prestado libremente a la tasa real r, y no deja herencia (c₂ agota los recursos).

Hogar A: y₁ = 100 · y₂ = 126 · r = 5% · mercado de capitales perfecto

Deriva la restricción presupuestaria intertemporal (RPI) y calcula la riqueza W.
¿Cuál es el consumo máximo alcanzable en cada período?
Si el hogar elige c₁ = 130, ¿cuánto ahorra y cuánto consume en t = 2? ¿Es deudor o acreedor neto?
Si r sube a 10%, ¿qué ocurre con W? ¿Gana o pierde este hogar?

Ver solución

(a) De las restricciones período a período a la RPI

El ahorro del primer período es s₁ = y₁ − c₁, y en el segundo el hogar consume su ingreso más el ahorro capitalizado: c₂ = y₂ + (1+r)s₁. Sustituyendo s₁ y despejando:

c₁ + c₂/(1+r) = y₁ + y₂/(1+r) ≡ W

El valor presente del consumo debe igualar al valor presente del ingreso. Numéricamente:

W = 100 + 126/1,05 = 100 + 120 = 220

(b) Los interceptos de la recta presupuestaria

Consumiendo todo hoy (pidiendo prestados los 120 de valor presente de y₂): c₁^máx = W = 220. Consumiendo todo mañana: c₂^máx = (1+r)W = 1,05 × 220 = 231. La pendiente de la recta es −(1+r) = −1,05 y pasa por la dotación (100, 126).

(c) Un plan de consumo concreto

s₁ = 100 − 130 = −30 (se endeuda en 30), de modo que

c₂ = 126 + 1,05 × (−30) = 126 − 31,5 = 94,5

Verificación en valor presente: 130 + 94,5/1,05 = 130 + 90 = 220 = W ✓

Deudor neto en el primer período: consume por sobre su ingreso corriente y paga 31,5 en t = 2 (30 de principal + 1,5 de intereses).

(d) Un alza de la tasa de interés

W' = 100 + 126/1,10 = 214,55 ⟹ ΔW = −5,45

La riqueza cae porque el ingreso futuro se descuenta más fuerte. La recta pivota sobre la dotación (100, 126) haciéndose más empinada: el tramo de la derecha (c₁ > y₁, donde este hogar opera) se desplaza hacia adentro.

Pierde. Un deudor neto siempre se perjudica con un alza de r: le encarece exactamente lo que está comprando, que es consumo presente.

Lectura económicaLa tasa de interés es el precio relativo del consumo presente en términos de consumo futuro: renunciar a una unidad hoy compra (1+r) unidades mañana. Toda la teoría del consumo de este capítulo es teoría de demanda con ese precio. Y como la dotación es siempre alcanzable, el signo del efecto riqueza de un cambio en r lo determina la posición neta: los deudores pierden, los acreedores ganan.

Problema 02Ecuación de Euler

Euler y la solución cerrada con utilidad logarítmica

El mismo hogar A ahora elige su plan óptimo maximizando una utilidad separable en el tiempo con consumo logarítmico.

U(c₁,c₂) = ln c₁ + β ln c₂ · β = 0,95 · y₁ = 100 · y₂ = 126 · r = 5%

Deriva la ecuación de Euler de este problema.
Calcula c₁, c₂ y el ahorro s₁.
Muestra que, dada la riqueza, c₁ no depende de r. ¿Qué significa eso?

Ver solución

(a) Condición de primer orden

Sustituyendo la restricción en la utilidad, el problema queda en una sola variable:

máx_c₁ ln c₁ + β ln[ y₂ + (1+r)(y₁ − c₁) ]

Derivando e igualando a cero: 1/c₁ = β(1+r)/c₂, es decir

u'(c₁) = β(1+r)·u'(c₂) ⟺ c₂/c₁ = β(1+r)

La utilidad marginal de un peso consumido hoy debe igualar la de ese peso ahorrado, capitalizado a (1+r) y descontado a β. Aquí β(1+r) = 0,95 × 1,05 = 0,9975 < 1: el hogar es apenas más impaciente que lo que paga el mercado, y su perfil de consumo es levemente decreciente.

(b) Cerrando el sistema con la RPI

Reemplazando c₂ = β(1+r)c₁ en c₁ + c₂/(1+r) = W, el factor (1+r) se cancela y queda c₁(1+β) = W:

c₁ = W/(1+β) = 220/1,95 = 112,82 c₂ = 0,9975 × 112,82 = 112,54

Variable	Valor
Riqueza W	220,00
Consumo c₁	112,82
Consumo c₂	112,54
Ahorro s₁ = y₁ − c₁	−12,82

Verificación: 112,82 + 112,54/1,05 = 112,82 + 107,18 = 220 ✓

(c) La propensión a consumir de la riqueza

c₁ = W/(1+β) ⟹ ∂c₁/∂W = 1/(1+β) = 0,5128, independiente de r

Con utilidad logarítmica el hogar consume una fracción fija de su riqueza. La tasa de interés solo entra a través de W: no altera cómo reparte la riqueza, solo cuánta riqueza hay.

Por qué: con σ = 1 el efecto sustitución y el efecto ingreso de un cambio en r sobre la tasa de ahorro se cancelan exactamente. El problema 3 muestra qué pasa cuando σ ≠ 1 y esa cancelación se rompe.

Lectura económicaLa ecuación de Euler no dice cuánto se consume, sino cómo se inclina el perfil de consumo. El nivel lo fija la riqueza; la pendiente la fija β(1+r). Separar "nivel" (riqueza) de "pendiente" (Euler) es la manera limpia de resolver cualquier modelo intertemporal de este capítulo.

Problema 03CRRA · Estática comparativa

¿Sube el ahorro cuando sube la tasa de interés?

Considera ahora un hogar de ciclo de vida: trabaja en el primer período y recibe una pensión pequeña en el segundo. Su utilidad es CRRA con coeficiente de aversión relativa al riesgo σ (cuyo inverso 1/σ es la elasticidad de sustitución intertemporal, EIS).

Hogar B: y₁ = 200 · y₂ = 21 · β = 0,95 u(c) = c^(1−σ)/(1−σ), con σ ∈ {0,5 ; 1 ; 2}

Obtén la solución cerrada de c₁ para σ arbitrario.
Calcula el ahorro s₁ con r = 5% y con r = 10%, para cada σ.
Interpreta el signo de ∂s₁/∂r en cada caso.

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(a) Solución cerrada CRRA

Con u'(c) = c^−σ, la ecuación de Euler c₁^−σ = β(1+r)c₂^−σ da

c₂/c₁ = [β(1+r)]^1/σ

Sustituyendo en la RPI, c₁{1 + [β(1+r)]^1/σ/(1+r)} = W, es decir

c₁ = W / [ 1 + β^1/σ(1+r)^(1−σ)/σ ]

El caso σ = 1 recupera c₁ = W/(1+β), porque el exponente (1−σ)/σ se anula. Nota que a r = 5% este hogar tiene exactamente la misma riqueza que el hogar A: W = 200 + 21/1,05 = 220. La diferencia es el perfil: A tiene ingreso creciente y se endeuda; B tiene ingreso decreciente y ahorra para su vejez.

(b) Ahorro bajo dos tasas

σ (EIS = 1/σ)	s₁ · r = 5%	s₁ · r = 10%	Δs₁	Var. %
σ = 0,5 (EIS = 2)	87,04	90,06	+3,01	+3,46%
σ = 1 (log)	87,18	87,65	+0,47	+0,53%
σ = 2 (EIS = 0,5)	87,25	86,44	−0,81	−0,92%

(La riqueza cae de W = 220 a W = 219,09 al pasar de 5% a 10%, porque la pensión se descuenta más.)

(c) Descomposición del signo

Un alza de r mueve el ahorro de un acreedor por tres canales:

Sustitución (+ ahorro): el consumo futuro se abarata; su fuerza es proporcional a la EIS = 1/σ.
Ingreso (− ahorro): el hogar es prestamista neto, así que la misma cartera le rinde más y puede consumir más hoy.
Riqueza vía descuento (+ ahorro, pequeño aquí): el valor presente de y₂ cae.

Con σ < 1 la sustitución domina y el ahorro sube. Con σ > 1 domina el efecto ingreso y el ahorro cae pese a que el interés es más alto. Con σ = 1 los dos primeros se cancelan exactamente y solo sobrevive el tercer canal, que aquí es diminuto (+0,47).

Lectura económicaLa respuesta del ahorro agregado a la tasa de interés es teóricamente ambigua, y el parámetro que decide el signo es la EIS. Por eso la evidencia empírica sobre la elasticidad-interés del ahorro es débil e inestable, y por eso las estimaciones de σ son tan disputadas: el mismo parámetro reaparece en el CCAPM del capítulo 8, donde valores altos de σ son necesarios para explicar la prima por riesgo pero implican un ahorro que cae cuando sube r.

Problema 04Ingreso vs. sustitución

Descomposición de Hicks de un alza de la tasa de interés

Toma el hogar B con utilidad logarítmica (σ = 1) y haz subir la tasa de 5% a 10%. Descompón el cambio total en c₁ en un efecto sustitución puro y un efecto ingreso, usando la compensación de Hicks (mantener la utilidad inicial constante).

Hogar B: y₁ = 200 · y₂ = 21 · β = 0,95 · U = ln c₁ + 0,95 ln c₂ r: 5% → 10%

Calcula la canasta inicial E₀ y la final E₁.
Calcula la canasta compensada E^h (nuevos precios, utilidad inicial).
Reporta ambos efectos sobre c₁ y sobre el ahorro, e interpreta.

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(a) Puntos inicial y final

Con log, c₁ = W/(1+β) y c₂ = β(1+r)c₁:

Punto	W	c₁	c₂	s₁
E₀ (r = 5%)	220,00	112,82	112,54	87,18
E₁ (r = 10%)	219,09	112,35	117,41	87,65

Utilidad inicial: U₀ = ln(112,82) + 0,95 ln(112,54) = 9,2129.

(b) La canasta compensada

Buscamos la canasta más barata (a los nuevos precios) que entrega U₀. Como el gasto mínimo también satisface Euler a la nueva tasa, c₂ = 0,95 × 1,10 × c₁ = 1,045 c₁. Imponiendo U = U₀:

(1+β)ln c₁ + β ln(1,045) = U₀ ⟹ ln c₁ = (9,2129 − 0,95×0,04402)/1,95 c₁^h = 110,29 c₂^h = 115,26 W^h = 215,07

El hogar necesitaría solo 215,07 de riqueza para estar igual de bien que antes, pero tiene 219,09: está 4,02 mejor en valor presente. Es un acreedor y la tasa subió.

(c) Los dos efectos

Efecto	Δc₁	Δs₁
Sustitución (E₀ → E^h)	−2,53	+2,53
Ingreso (E^h → E₁)	+2,06	−2,06
Total (E₀ → E₁)	−0,47	+0,47

Los dos efectos son de signo opuesto y magnitud casi idéntica: se cancelan en un 81%. El residuo (+0,47 de ahorro) no es un tercer efecto misterioso: es la caída de la riqueza (220 → 219,09) porque la pensión de 21 se descuenta a 10% en vez de 5%.

Lectura económicaLa cancelación es el resultado teórico central: con utilidad logarítmica el ahorro es esencialmente insensible a la tasa de interés. Gráficamente, en la Figura 7.1 la recta pivota sobre la dotación y el óptimo casi no se mueve horizontalmente. La misma descomposición aplicada a un deudor daría efectos del mismo signo (ambos reducen c₁), porque para él el alza de r es un empobrecimiento.

Problema 05Ingreso permanente

Shocks transitorios, permanentes y anticipados bajo el PIH

Extiende el problema a horizonte infinito con previsión perfecta. El hogar tiene utilidad separable, la tasa es constante y se cumple la condición β(1+r) = 1, de modo que el consumo óptimo es constante en el tiempo.

r = 4% · β(1+r) = 1 · ingreso y = 100 por período, desde t = 0 c_t = [r/(1+r)] · W_t, con W_t = Σ_j≥0 y_t+j/(1+r)^j

Calcula la riqueza W₀ y el consumo de equilibrio.
Un shock transitorio: +100 solo en t = 0. ¿Cuánto sube el consumo? ¿Cuál es la PMC?
Un shock permanente: +10 en todos los períodos.
Un shock anticipado: hoy se anuncia un aumento de 100 que ocurrirá en t = 5.

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(a) Punto de partida

La anualidad perpetua que empieza hoy vale W₀ = y(1+r)/r:

W₀ = 100 × 1,04/0,04 = 2.600 c = (0,04/1,04) × 2.600 = 100

Consistente: sin shocks, el hogar consume su ingreso y no ahorra.

(b) Shock transitorio

ΔW = 100 ⟹ Δc = [r/(1+r)]·ΔW = 0,03846 × 100 = 3,85

PMC transitoria = r/(1+r) = 3,85%. El hogar ahorra 96,15 de los 100 y distribuye el resto en un flujo perpetuo de 3,85 por período.

(c) Shock permanente

Ahora cambia toda la secuencia: ΔW = 10 × (1,04/0,04) = 260. Entonces

Δc = 0,03846 × 260 = 10 ⟹ PMC permanente = 1

El consumo sube exactamente lo mismo que el ingreso y el ahorro no cambia.

(d) Shock anticipado

ΔW = 100/1,04⁵ = 82,19 ⟹ Δc = 0,03846 × 82,19 = 3,16

El consumo sube hoy, en t = 0, aunque el ingreso corriente no cambió en absoluto. Como y₀ es el mismo y c₀ subió 3,16, el ahorro cae 3,16: el hogar se endeuda contra la buena noticia.

Tipo de shock	ΔW	Δc	PMC del ingreso corriente
Transitorio (+100 hoy)	100,0	3,85	0,038
Permanente (+10 siempre)	260,0	10,00	1,000
Anticipado (+100 en t = 5)	82,19	3,16	— (Δy₀ = 0)

Lectura económicaBajo el PIH la PMC del ingreso corriente no es un número: depende enteramente de cuánta información sobre la riqueza permanente contiene ese ingreso. De aquí salen dos predicciones testeables: (i) el consumo debe seguir un paseo aleatorio (Hall), porque solo las sorpresas sobre la riqueza lo mueven; y (ii) los cambios de ingreso anticipados no deben mover el consumo cuando ocurren, porque ya fueron incorporados al anunciarse. Ambas fallan parcialmente en los datos — la puerta de entrada al problema 7.

Problema 06Política fiscal

Equivalencia ricardiana: una rebaja tributaria que no hace nada

El gobierno gasta G₁ y G₂ y los financia con impuestos de suma alzada y deuda, sujeto a su propia restricción intertemporal. El hogar es el del problema 2 (log, β = 0,95), ahora con ingreso disponible.

y₁ = 100 · y₂ = 105 · r = 5% · β = 0,95 Gobierno: G₁ = G₂ = 20 (fijos) · inicialmente T₁ = T₂ = 20

Calcula la riqueza del hogar y su consumo c₁ en el escenario inicial.
El gobierno elimina el impuesto del primer período (T₁ = 0) financiándose con deuda. ¿Cuánto debe cobrar en t = 2?
¿Qué ocurre con el consumo, el ahorro privado, el ahorro público y el ahorro nacional?
Enumera tres razones por las que este resultado falla en la práctica.

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(a) Escenario inicial

W = (100 − 20) + (105 − 20)/1,05 = 80 + 80,95 = 160,95 c₁ = W/(1+β) = 160,95/1,95 = 82,54 s₁^priv = 80 − 82,54 = −2,54

(b) La restricción del gobierno

El gobierno debe satisfacer T₁ + T₂/(1+r) = G₁ + G₂/(1+r). Con T₁ = 0:

T₂ = (1+r)[G₁ + G₂/(1+r)] = 1,05 × (20 + 19,05) = 41,0

Equivalentemente: emite deuda B = G₁ − T₁ = 20, que debe repagar con intereses (21) más financiar G₂ = 20 → T₂ = 41 ✓

(c) El resultado de neutralidad

W' = 100 + (105 − 41)/1,05 = 100 + 60,95 = 160,95 = W

La riqueza es idéntica: el valor presente de los impuestos no cambió, solo su calendario. Como c₁ depende únicamente de W, el consumo no se mueve.

Variable	Antes	Después	Δ
Riqueza W	160,95	160,95	0,00
Consumo c₁	82,54	82,54	0,00
Ahorro privado	−2,54	17,46	+20,00
Ahorro público (T₁ − G₁)	0,00	−20,00	−20,00
Ahorro nacional	−2,54	−2,54	0,00

El hogar ahorra íntegramente la rebaja (+20) porque anticipa el impuesto futuro. El déficit público se compensa peso a peso con ahorro privado: la deuda pública no es riqueza neta.

(d) Por qué falla

Horizonte finito sin altruismo: si el hogar muere antes de t = 2, parte de T₂ la pagan otros. Solo el legado altruista à la Barro restaura la equivalencia.
Restricciones de liquidez: el hogar del problema 7 quería endeudarse y no podía; la rebaja tributaria es justamente el préstamo que el mercado le negaba, y la consume. PMC ≈ 1.
Impuestos distorsionadores: con impuestos al trabajo o al capital (no de suma alzada), mover la carga en el tiempo altera precios relativos y decisiones reales. Se suman la incertidumbre sobre quién pagará (ahorro precautorio) y la miopía.

Lectura económicaLa equivalencia ricardiana no es una predicción empírica sino un punto de referencia: identifica exactamente qué supuestos hacen irrelevante el financiamiento del gasto. Lo relevante para el consumo es la trayectoria de G, no la de T. En los datos la PMC de las rebajas tributarias transitorias suele estimarse entre 0,2 y 0,5 — ni 0 ni 1 — lo que sugiere que las fricciones del punto (d) importan, pero no lo dominan todo.

Problema 07Restricción de liquidez

Cuando el mercado de capitales se cierra: solución de esquina

Vuelve al hogar A (ingreso creciente, quiere endeudarse), pero ahora impón que no puede pedir prestado: s₁ ≥ 0.

y₁ = 100 · y₂ = 126 · β = 0,95 · r = 5% · U = ln c₁ + β ln c₂ Restricción: s₁ ≥ 0 (sin acceso al crédito)

¿Se activa la restricción? Escribe la condición general en términos de parámetros.
Encuentra el consumo óptimo restringido y verifica la desigualdad de Euler.
Cuantifica la pérdida de bienestar en equivalente de consumo.
¿Cuál es la PMC ante una transferencia transitoria de 5 en t = 1?

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(a) ¿Se activa?

Del problema 2, el óptimo sin restricción es c₁* = 112,82 > y₁ = 100: el hogar quiere endeudarse en 12,82 y no puede. En general la restricción se activa cuando c₁* > y₁, es decir

W/(1+β) > y₁ ⟺ y₂/(1+r) > β y₁ ⟺ y₂ > β(1+r) y₁

Aquí: 126 > 0,95 × 1,05 × 100 = 99,75 ✓ La restricción muerde. La lectura es directa: muerde cuando el ingreso crece rápido — jóvenes, estudiantes, hogares al inicio de su carrera.

(b) Solución de esquina

Como la función objetivo es creciente en c₁ hasta 112,82, el óptimo restringido está en el borde:

c₁ = y₁ = 100 c₂ = y₂ = 126 s₁ = 0

La condición de Euler ya no se cumple con igualdad, sino con desigualdad:

u'(c₁) = 1/100 = 0,01000 > β(1+r)u'(c₂) = 0,9975/126 = 0,00792

La brecha (0,00208) es el multiplicador de Lagrange de la restricción: el precio sombra de un peso adicional de crédito.

(c) Costo de bienestar

U* = 9,21293 U^c = ln 100 + 0,95 ln 126 = 9,19964 ΔU = 0,01329

Para expresarlo en consumo, busca el factor λ que escala ambos consumos y compensa la pérdida: como ΔU = (1+β)ln λ,

λ = exp(0,01329/1,95) = 1,00684

La restricción equivale a una pérdida de 0,68% del consumo de por vida. Modesta aquí, pero crece rápido con la pendiente del perfil de ingreso: un hogar con y₂ tres veces y₁ perdería un múltiplo de esto.

(d) PMC de una transferencia transitoria

Con la transferencia, y₁ = 105 y W = 225, de modo que el deseo sin restricción sería 225/1,95 = 115,38 > 105: sigue restringido. Entonces c₁ = 105.

PMC = 1, frente a 0,51 (propensión a consumir de la riqueza) del caso sin restricción y frente a 0,038 del PIH de horizonte infinito del problema 5.

Lectura económicaEsta es la explicación estándar del exceso de sensibilidad del consumo al ingreso corriente que rechaza el PIH en los datos. También reconcilia las estimaciones de la PMC: los hogares restringidos gastan casi todo, los no restringidos casi nada, y la PMC agregada es un promedio ponderado por la fracción restringida. De ahí que las transferencias fiscales se focalicen en hogares de bajos ingresos y baja liquidez: es donde el multiplicador del gasto es mayor.

Problema 08Inversión

Capital óptimo y costo de uso del capital

Pasa del hogar a la empresa. Una firma competitiva produce con capital según una función Cobb-Douglas, alquila (o posee) capital cuyo precio relativo es 1, y enfrenta depreciación δ.

Y = A K^α · A = 10 · α = 0,3 · δ = 10% · p_K = 1 · r = 5%

Deriva la condición de capital óptimo y la expresión de K*.
Calcula K* con r = 5% y con r = 10%. ¿Cuál es la elasticidad respecto al costo de uso?
Si el stock heredado es K₀ = 60, calcula la inversión neta y bruta requerida para alcanzar K* en un período.

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(a) La condición neoclásica

La empresa maximiza el beneficio de cada período AK^α − (r+δ)K. La condición de primer orden iguala el producto marginal del capital al costo de uso:

PMgK = αA K^(α−1) = r + δ ≡ uc K* = [ αA/(r+δ) ]^(1/(1−α))

El costo de uso tiene una lectura contable exacta: por cada peso invertido, la empresa sacrifica r de interés (costo de oportunidad del financiamiento) y pierde δ por desgaste.

(b) Sensibilidad a la tasa

Escenario	uc = r + δ	K*
r = 5%	0,150	72,21
r = 10%	0,200	47,88

Cálculo: (0,3 × 10 / 0,15)^1/0,7 = 20^1,4286 = 72,21 y 15^1,4286 = 47,88. La caída es de 33,7%.

d ln K* / d ln(uc) = −1/(1−α) = −1,43

La demanda de capital es elástica al costo de uso, y tanto más cuanto menor sea α: con rendimientos decrecientes más fuertes, hace falta mover mucho más K para que el PMgK vuelva a igualar al costo de uso.

(c) Inversión neta y bruta

I^neta = K* − K₀ = 72,21 − 60 = 12,21 I^bruta = I^neta + δK₀ = 12,21 + 6,00 = 18,21

De la inversión bruta, un tercio (6) solo repone el desgaste y no aumenta la capacidad productiva.

Lectura económicaEste modelo entrega la demanda de inversión que está detrás de la curva IS del capítulo 2: I decreciente en r, y esa elasticidad −1/(1−α) es exactamente el parámetro que gobierna la pendiente de la IS y, por tanto, la potencia de la política monetaria. Pero el modelo tiene un defecto fatal: como no hay costo de mover el capital, la empresa salta instantáneamente a K* — inversión infinita en un instante y cero después. La inversión observada es suave y persistente. El problema 9 arregla esto.

Problema 09q de Tobin

Costos de ajuste y la q de Tobin

Misma empresa del problema 8, pero ahora instalar capital cuesta: además del precio de compra, la firma paga un costo de ajuste convexo que penaliza invertir rápido.

Φ(I,K) = (φ/2)(I/K)² K · φ = 5 · r = 5% · δ = 10% · α = 0,3 · A = 10 q ≡ valor sombra de una unidad adicional de capital instalado

Deriva la regla de inversión en función de q.
Con K₀ = 60, calcula q marginal y la inversión del período.
Repite con K₀ = 100 e interpreta.

Ver solución

(a) La regla de inversión

El costo marginal de instalar una unidad adicional es el precio de compra (1) más el costo marginal de ajuste ∂Φ/∂I = φ(I/K). El beneficio marginal es q, el valor de mercado de esa unidad instalada. Igualando:

1 + φ(I/K) = q ⟹ I/K = (q − 1)/φ

La tasa de inversión es lineal en q − 1, con pendiente 1/φ. Costos de ajuste altos (φ grande) implican inversión lenta.

(b) La empresa con capital escaso

La q marginal es el valor presente del flujo marginal que genera una unidad de capital, q = PMgK/(r+δ):

PMgK(60) = 0,3 × 10 × 60^(−0,7) = 0,1708 q = 0,1708/0,15 = 1,139 I/K = (1,139 − 1)/5 = 0,0277 ⟹ I = 0,0277 × 60 = 1,66

q > 1: una unidad instalada vale más que su costo de reposición, así que la empresa invierte — pero solo 1,66, no los 12,21 del problema 8. La brecha se cierra gradualmente.

(c) La empresa con exceso de capital

PMgK(100) = 0,1194 q = 0,796 I/K = −0,0408 ⟹ I = −4,08

Con q < 1 el capital instalado vale menos que su costo de reposición y la empresa desinvierte. El punto de quiebre es exacto:

q = 1 ⟺ PMgK = r + δ ⟺ K = K* = 72,21

K₀	PMgK	q	I/K	I
60 (bajo K*)	0,1708	1,139	+2,77%	+1,66
72,21 (= K*)	0,1500	1,000	0,00%	0,00
100 (sobre K*)	0,1194	0,796	−4,08%	−4,08

Lectura económicaEl aporte de Tobin es que toda la información relevante para invertir —productividad, tasa de interés, depreciación, expectativas futuras— se comprime en un solo número observable. Bajo competencia perfecta y rendimientos constantes a escala, la q marginal (no observable) coincide con la q media (valor de mercado / valor de reposición), que sí se mide en bolsa: de ahí la larga literatura que corre regresiones de inversión contra q. Y el modelo entrega la inversión suave y persistente que el problema 8 no podía generar.

Problema 10Sostenibilidad fiscal · §7.6

Dinámica de la deuda pública y la carrera entre r y g

Cierra el capítulo con la contraparte agregada del ahorro público. Sea b_t = B_t/Y_t la deuda como razón del PIB, sp el superávit primario como razón del PIB, r la tasa real y g el crecimiento real del PIB.

b₀ = 60% del PIB · r = 5% · g = 3% · sp = 1% del PIB

Deriva la ecuación en diferencias de b_t.
Calcula la trayectoria hasta t = 5 y el estado estacionario b*. ¿Es estable?
¿Qué superávit primario estabiliza la deuda en 60%?
Si el crecimiento sube a g = 6%, ¿qué cambia cualitativamente?

Ver solución

(a) De niveles a razones del PIB

La deuda evoluciona según B_t+1 = (1+r)B_t − SP_t+1. Dividiendo por Y_t+1 = (1+g)Y_t:

b_t+1 = [(1+r)/(1+g)] · b_t − sp ≡ θ·b_t − sp

con θ = 1,05/1,03 = 1,019417. Una aproximación muy usada para r, g pequeños es Δb ≈ (r − g)·b − sp: el término (r−g)b es la bola de nieve de intereses netos de crecimiento.

(b) Trayectoria y punto fijo

El estado estacionario resuelve b* = θb* − sp:

b* = sp/(θ − 1) = 0,01 × 1,03/0,02 = 0,515 = 51,5% del PIB

Y la solución explícita es b_t = θ^t(b₀ − b*) + b*.

t	0	1	2	3	4	5
b_t (% PIB)	60,00	60,17	60,33	60,50	60,68	60,86

Como θ > 1 (porque r > g), el punto fijo es inestable: es un umbral, no un atractor. Con b₀ = 60% > 51,5%, la deuda crece sin límite — lento al principio, pero acelerando de forma exponencial.

(c) El superávit estabilizador

Imponiendo b_t+1 = b_t = b₀:

sp* = (θ − 1)·b₀ = [(r − g)/(1+g)]·b₀ = (0,02/1,03) × 0,60 = 0,01165

Se necesita un superávit primario de 1,165% del PIB: un ajuste de 0,165 puntos del PIB respecto del 1% actual. Nota que sp* es proporcional a la deuda heredada: un país con b₀ = 120% necesitaría el doble, 2,33% del PIB.

(d) Cuando el crecimiento supera a la tasa

g = 6% ⟹ θ = 1,05/1,06 = 0,99057 < 1

El signo de θ − 1 se invierte y con él toda la dinámica: el punto fijo pasa a ser un atractor estable. Con el mismo sp = 1%, la deuda cae de 60% a 52,3% en cinco años y sigue bajando. Incluso con sp = 0, la deuda converge a cero sin ningún ajuste fiscal: el crecimiento la licúa.

Régimen	θ	Punto fijo b*	Naturaleza
r > g (5% vs 3%)	1,0194	51,5%	Umbral inestable
r < g (5% vs 6%)	0,9906	—	Atractor estable

Lectura económicaLa sostenibilidad fiscal no depende del nivel de deuda per se sino del signo de r − g. Con r < g un país puede correr déficits primarios permanentes sin que la deuda explote; con r > g ni siquiera un superávit sostenido garantiza estabilidad si es menor a sp*. El punto delicado es que r no es exógeno: si los mercados dudan de la solvencia, el spread sube, r sube, y una trayectoria que era sostenible deja de serlo. Ese es el mecanismo de equilibrios múltiples y profecías autocumplidas detrás de las crisis de deuda soberana.